Postać wykładnicza liczby zespolonej
Definicja 1: Symbol \( e^{i\varphi} \)
Wprost z definicji wynika, że \( |e^{i\varphi}|=1 \) oraz \( \mathrm{arg}(e^{i\varphi})=\varphi+2k\pi \) dla \( k\in\mathbb{Z} \).
Twierdzenie 1: Własności symbolu \( e^{i\varphi} \)
- \( e^{i(\varphi_{1}+\varphi_{2})}=e^{i\varphi_{1}}\cdot e^{i\varphi_{2}}; \)
- \( e^{i(\varphi_{1}-\varphi_{2})}=\frac{e^{i\varphi_{1}}}{ e^{i\varphi_{2}}}; \)
- \( \left( e^{i\varphi} \right)^{k}=e^{ik\varphi}; \)
- \( e^{i(\varphi+2k\pi)}=e^{i\varphi}; \)
- \( e^{i\varphi}≠ 0; \)
- \( e^{i\varphi_{1}}=e^{i\varphi_{2}}\Leftrightarrow \varphi_{1}=\varphi_{2}+2k\pi. \)
gdzie \( r \) oznacza moduł, zaś \( \varphi\in\mathbb{R} \) jest argumentem liczby \( z \).
Postać \( z=re^{i\varphi} \) nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.
Przykład 1:
Aby tego dokonać rozpoczynamy od obliczenia modułu i argumentu liczby \( z \). Mamy:
\( |z|=\sqrt{0^2+1^2}=1. \)
Następnie:
\( \left\{\begin{array}{lcl}\cos\varphi&=&\frac{0}{1}=0\\\sin\varphi&=&\frac{-1}{1}=-1.\end{array}\right. \)
Argumentem głównym \( z \) jest \( \varphi =\frac{3}{2}\pi \), zatem
\( z=1e^{i\frac{3}{2}\pi}. \)
Warto zapamiętać, że podobnie jak w przypadku postaci trygonometrycznej, zapis liczby zespolonej w postaci wykładniczej nie jest jednoznaczny. Wynika to z faktu, że dowolna liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów.
Twierdzenie 2: Równość liczb zespolonych w postaci wykładniczej
Wówczas \( z_{1}=z_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( r_{1}=r_{2} \) oraz \( \varphi_{1}=\varphi_{2}+2k\pi \), dla pewnej liczby całkowitej \( k \).
Twierdzenie 3: Działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej
- \( \overline{z}=re^{-i\varphi}; \)
- \( z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}e^{i(\varphi_{1}+\varphi_{2})}; \)
- \( \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\varphi_{1}-\varphi_{2})} \) dla \( z_{2} \in \mathbb{C}\setminus\{0\}; \)
- \( \frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\varphi} \) dla \( z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}; \)
- \( z^{k}=r^{k}e^{ik\varphi}. \)
Przy pomocy liczby \( e^{i\varphi}=\cos \varphi+i\sin \varphi \) wyrażamy cosinus i sinus kąta \( \varphi \). Mamy mianowicie
Twierdzenie 4: Wzory Eulera
Warto wspomnieć w tym miejscu o jeszcze jednym wzorze, również nazywanym wzorem Eulera lub tożsamością Eulera.
Przedstawiając mianowicie liczbę \( -1 \) w postaci wykładniczej, tj. jako \( -1=e^{i\pi} \), otrzymujemy wzór łączący pięć najważniejszych stałych matematycznych:
Przez wielu, wzór ten uważany jest za najpiękniejszy wzór matematyczny.